EM PRODUÇÃO

Escrevi esse post para pessoas que possuem alguma noção de computação e querem saber o que acontece dentro de um computador quântico, porém assim como eu se deparou com muita física e mesmo depois de lerem muito e assistirem vários vídeos ainda não acharam o que estavam procurando. Como funciona um computador quântico na perspectiva computacional, e não física.

Computação Quântica

Em janeiro de 2019 a IBM anunciou seu primeiro, e até então único, computador quântico “comercial”. Bom, então agora que ele existe, toda nossa criptografia foi ameaçada e vamos resolver problemas que só sonhávamos em resolver… mas não é bem assim. O IBM Q System One, com seus 20 qbits(ainda vamos chegar lá), está mais para um símbolo. Ele não consegue superar um computador tradicional em problemas úteis, e mesmo que você queira um programa não útil rodadando em um computador quântico só para ver como é, isso pode se tornar uma tarefa bem difícil. E não digo pelo acesso à um computador quantico, a IBM disponibiliza um para qualquer pessoa usar no IBM Q Experience, o problema é entender o modelo de computação dele o suficiente para contruir um algoritmo e significar os resultados do seu programa.

Para isso vamos passar por alguns conceitos nesse post.

Qbits

Em um computador tradicional trabalhamos com bits, a menor unidade de mémoria que pode representar um Zero(0) ou um Um(1). No computador quantico temos o bit quântico, que também pode representar um Zero(0) ou um Um(1). Vamos chamar o bit clássico de cbit e o bit quântico de qbit.

Podemos dizer que o Qbit Zero(0) é representado pelo vetor abaixo:

ou em uma notação um pouco diferente |0>

E o Qbit Um(1) por esse outro vetor:

ou em uma notação um pouco diferente |1>

Agora as coisas começam a ficar mais parecidas com uma copmutação tradicional.

Operações com bits

Com cbits conseguimos fazer 4 operações clássicas:

1. Identidade: $f(x) = x$
2. Negação: $f(x) = \neg x$
3. Constatante 0: $f(x) = 0$
4. Constante 1: $f(x) = 1$

E podemos escrever essas operações como matrizes para aplica-las aos qbits:

Identidade:

O Qbit 0 continua 0 e o Qbit 1 continua 1

ou

Negação:

O Qbit 0 se torna 1 e o Qbit 1 se torna 0

ou

Constatante 0:

O Qbit 0 continua 0 e o Qbit 1 se torna 0

ou

Constatante 1:

O Qbit 0 se torna 1 e o Qbit 1 continua 1

ou

Vamos dar guardar essas 4 operações retornamos para elas mais tarde.

Computação Reversível

Agora precisamos saber entender o conceito de Computação Reversível.

No resumo, significa que se você sabe a operação que foi realizada e o resultado dessa operação, você consegue descobrir a entrada que foi utilizada. Um bom exemplo seria: se temos a operação de negação realizada e o resultado for 1, então a entrada tem que ser 0

$ \neg X = 1 \Leftrightarrow X = 0 $

Seguindo essa lógica percebemos que as operações de Identidade e Negação são reversíveis e as de Constante não!

Outra coisa importante de saber agora é que a computação quântica use exclusivamente operações que são reversíveis, e que todas os operadores quânticos são seus próprios inversos. Então se você aplicar um operador à uma entrada e novamente ao resultado, o resultado da segunda operação vai ser a própria entrada

$ f(f(X)) = X $

A operação de Negação é um bom exemplo para isso também

$ \neg(\neg X) = X $

Produto de tensores

Ok, sabendo de tudo isso vamos estudar outra operação, o produto de tensores. No resumo ela funciona seguindo a regra abaixo, pelo menos para os propósitos dessse blog.

E pra que precisamos saber disso ? Bom, na computação tradicional conseguimos representar um valor com dois ou mais cbits (00, 011, 1110), mas na computação quântica representar um valor com dois qbits é um pouco diferente. O valor de dois qbits |10> é o produto de tensores entre os qbits |1> e |0>

$ |10> = |0>\otimes|1> $

ou, na forma matricial

o que também vale para uma quantidade maior de qbits

E essa também é uma operação reversível, dado um vetor |10> podemos fatora-los nos qbits |1> e |0>.

Operação CNot

Uma operação bem útil com bits é a negação condicional, também chamada de CNot. Ela recebe dois bits, um de controle e um é a entrada. Caso o bit de controle seja 1, a entrafa é negada, caso o bit de controle seja zero, a entrada continua igual. Assim como as outras operações, ela pode ser representada como uma matriz

Como podemos ver, essa operação além de ser reversível é a sua própria inversa.

E assim como na computação tradicional a porta NAND é usada para construir operações mais complexas e interessantes, usaremos o CNOT para contruir operações mais interessantes e complexas na computação quântica.

Recapitulando

• Aprendemos a representar bits na forma vetorial
• Aprendemos a fazer operações nesses bits com multiplicações
• Sabemos que a computação quântica só usa operações reversíveis, e essas operações - são seus próprios inversos
• Aprendemos que estados com mais de um bit são o produto de tensores entres os bits individuais.
• E por fim aprendemos o CNOT

Qbits e Superposição

Um qbit é representado por um vetor onde a e b são números complexos e $\left | a \right |^2 + \left | b \right |^2 = 1$

os vetores e que vimos até agora se encaixam nessa definição.

Mas não se preocupe com a parte complexa desses números, neste blog só vamos usar números reais :)

Outros exemplos de Qbits são:

Mas se significa 0 e significa 1, o que seria ? Ele é um qbit em superposição

Quando temos essa superposição, signica que ele é tanto 0 quanto 1, e nesse estado é como se a computação esteja sendo feita tanto para 0 quanto para 1. Mas isso não é um resultado útil neh ? Ao final de toda computação quantica precisamos passar nossos qbits por uma operação de medição, que colapsa esse qbit ou para 0 ou para 1.

Um qbit colapsa para 0 com probabilidade $\left | a \right |^2$ e colapsa para 1 com probabilidade $\left | b \right |^2$.

Então quando falamos que o qbit significa 1, na verdade estavamos dizendo que ele tem probabilidade 0 de colapsar para o valor 0 tem probabilidade 1 de colapsar para o valor 1 quando for medido.

Um qbit tem probabilidade 0.5 de colapsar para 0 e probabilidade 0.5 de colapsar para 1.

Note também que podemos ter multiplos qbits em superposição usando o produto de tensores

Note que $\left | \frac{1}{2} \right |^2 = \frac{1}{4}$, e $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} = 1$, então esse qbit tem probabilidade 1/4 de colapsar para $\left|00\right>$, $\left|01\right>$, $\left|10\right>$, $\left|11\right>$.

Hadamard Gate

Agora que sabemos da existência da superposição, como colocamos nossos bits nesse estado ? Para isso usamos outra operação quântica, o Hadamard Gate. Assim como as outras operações ele é representado por uma matriz, e sua função é colocar qbits $\left|0\right>$ e $\left|1\right>$ na mesma superposição.

É interessante notar que o $\frac{-1}{\sqrt{2}}$ aparentemente é desnecessário, mas ele serve para deixar a operação reversível, caso contrário tanto a operação com $\left|0\right>$ quanto com $\left|1\right>$ teriam o mesmo resultado.

Lembrando agora das propriedades das operações, elas também são seus próprios inversos, então o Hadamard gate conseguie tirar um qbit da superposição sem realizar de fato uma medição desse qbit. Dessa maneira podemos estruturar a computação quantica de forma determinística em vez de probabilística!

Então podemos iniciar nossos bits como se fossem cbits clássicos, levalos para superposução, fazemos as operações quânticas que desejarmos e no final transitamos eles de volta para os valores de cbits clássicos, fazendo com que a computação como um todo fosse determinística. Bem massa neh :)